La théorie de Froude pour les hélices de propulsion et de traction montre que créer de la poussée, c'est accélérer un débit de fluide. Elle le chiffre : la poussée vaut le débit massique qui traverse l'hélice multiplié par l'accélération qu'elle lui donne, T = ṁ (V₂ − V₀), et la vitesse au disque est la moyenne des vitesses amont et aval. Cette page établit ces résultats avec toutes leurs formules. Elle s'appuie sur le bilan de quantité de mouvement.

Au sommaire :

• Théorie de Froude, l'hélice vue comme un disque
• Bilan de quantité de mouvement
• Pression et vitesse induite au disque
• Formule de la poussée, débit massique et accélération
• Exemple chiffré : poussée et rendement de Froude
• Limites de la théorie

1 : Théorie de Froude, l'hélice vue comme un disque

L'approche de Froude évalue la vitesse induite axiale à l'aide d'un volume de contrôle placé autour de la veine de fluide qui traverse l'hélice. L'hélice accélère le fluide, la veine se contracte, et du fluide doit donc entrer latéralement dans le volume de contrôle pour compenser. Nous pouvons calculer ce volume.

Suivant Froude, nous considérons l'hélice comme un disque uniformément chargé, qui aurait un nombre infini de pales (figure 1). Quatre hypothèses simplifient le problème :

1. nous ne tenons pas compte de la rotation de l'écoulement ;
2. en dehors de la veine, l'écoulement n'est pas perturbé ;
3. la pression loin en amont et loin en aval est égale à la pression statique de l'écoulement non perturbé ;
4. les perturbations sont assez faibles pour que la masse volumique du fluide soit constante.

Figure 1 : la veine accélérée se contracte. À gauche, V₀ et p₀ en amont ; au disque, la pression passe de p à p + Δp ; à droite, V₂ et le rayon r de la veine en aval, dans un volume de rayon R.

2 : Bilan de quantité de mouvement d'une hélice propulsive

Nous notons V₀ la vitesse loin en amont, V₁ la vitesse au disque, V₂ la vitesse loin en aval, r le rayon de la veine loin en aval et R le rayon du volume de contrôle. L'équation de continuité donne le débit volumique Q qui traverse la surface extérieure du volume de contrôle :

Le théorème de quantité de mouvement donne la force de traction (ou de propulsion) T de l'hélice, c'est-à-dire la variation de quantité de mouvement entre les sections 2 et 0, projetée sur l'axe horizontal :

La dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps est :

La quantité de mouvement M₂ qui sort du volume de contrôle à la section 2 vaut :

La quantité de mouvement totale M₁ qui entre dans le volume de contrôle est celle de l'entrée du volume, augmentée de celle qui entre latéralement :

La force axiale (T = M₂ − M₁) devient donc, avec la simplification en seconde ligne :

3 : Pression et vitesse induite au disque de l'hélice

La force de traction s'exprime aussi avec la résultante de la pression statique sur le disque :

où A est la surface du disque balayé par l'hélice et Δp la différence de pression à travers le disque. L'équation de Bernoulli s'écrit de 0 à 1 en amont :

et de 2 à 1 en aval :

La différence de pression statique entre les faces aval et amont du disque a pour expression :

L'équation de continuité entre le disque et la section 2 s'écrit , ce qui permet d'écrire :

Nous en tirons que la vitesse de l'écoulement au disque est la moyenne arithmétique des vitesses amont et aval :

On appelle vitesse induite, notée w, l'augmentation de vitesse au niveau du disque, et a le facteur d'interférence axiale :

Remarque de lecture : ces deux images mélangent deux conventions pour a. Comme V₁ est la moyenne de V₀ et V₂, la vitesse induite vaut w = V₁ − V₀ = V₂ − V₁ = (V₂ − V₀)/2. Avec la définition usuelle a = w/V₀, nous avons V₁ = (1 + a) V₀ et V₂ = (1 + 2a) V₀. C'est la convention de la page sur la vitesse induite, où la vitesse axiale vue par la pale est V(1 + a).

Avec la moyenne , la force de traction qui s'exerce sur le disque est :

4 : Formule de la poussée d'une hélice, débit massique et accélération

Cette expression de la poussée fait apparaître le débit massique. La masse de fluide qui traverse l'hélice par seconde vaut, en kg/s :

ṁ = ρ A V₁ = ρ π r² V₂

avec ρ la masse volumique en kg/m³, A la surface du disque en m² et r le rayon de la veine loin en aval (section 2), en mètres. La poussée de l'hélice est alors :

T = ṁ (V₂ − V₀)

Créer de la poussée consiste donc à augmenter la vitesse d'un débit massique de fluide. Nous disposons de deux leviers, la masse brassée ou l'accélération donnée, et le choix entre les deux est déterminant pour le rendement propulsif.

5 : Exemple chiffré de poussée, vitesse induite et rendement de Froude

Les valeurs qui suivent sont un exemple choisi pour illustrer les formules ; ce ne sont pas des mesures. Prenons une hélice de 2 m de diamètre qui avance à V₀ = 20 m/s dans l'air (ρ = 1,225 kg/m³), et supposons que l'hélice impose une vitesse induite w = 3 m/s au niveau du disque.

• La surface du disque est A = π × 1² ≈ 3,14 m².
• La vitesse au disque est V₁ = V₀ + w = 23 m/s, et la vitesse loin en aval V₂ = V₀ + 2w = 26 m/s.
• Le débit massique est ṁ = ρ A V₁ ≈ 88,5 kg/s.
• La poussée est T = ṁ (V₂ − V₀) = 88,5 × 6 ≈ 531 N. La formule ρ A (V₀ + w) 2w donne le même résultat.

La puissance utile, celle qui sert à avancer, vaut T × V₀ ≈ 531 × 20 ≈ 10 620 W. La puissance communiquée au fluide vaut T × V₁ ≈ 531 × 23 ≈ 12 215 W, ce que confirme ½ ṁ (V₂² − V₀²). La différence, environ 1 590 W, est l'énergie cinétique laissée dans le sillage. Le rapport des deux est le rendement de Froude (rendement idéal) : η = V₀ / V₁ = 20 / 23 ≈ 0,87.

Ce rendement montre le levier évoqué plus haut. Pour la même poussée de 531 N, une hélice deux fois plus grande brasserait un débit presque double et n'aurait besoin que d'une accélération presque moitié moindre : V₁ se rapprocherait de V₀ et le rendement de Froude monterait. C'est la raison pour laquelle les hélices lentes et de grand diamètre sont plus efficaces que les petites hélices rapides, à poussée égale. À vitesse d'avance nulle (point fixe), η tombe à zéro : la poussée est réelle, mais la puissance utile est nulle, car rien n'avance.

6 : Limites de la théorie de Froude pour une hélice propulsive

Ce rendement est un plafond, pas une prévision. La théorie ne contient ni traînée des profils, ni rotation du sillage : l'hélice réelle fait tourner le fluide, et l'énergie de cette rotation est perdue en plus de celle de l'accélération axiale. Elle suppose aussi une infinité de pales, donc aucune perte en bout de pale, et un écoulement uniforme sur le disque. Une hélice réelle reste donc sous le rendement de Froude, d'autant plus que la rotation est forte, c'est-à-dire à faible vitesse d'avance et fort couple.

Pour savoir quelle forme de pale produit réellement cette poussée, il faut la théorie de l'élément de pale d'une hélice propulsive, qui introduit les profils, leur Cz et leur Cx. Pour son pendant côté éolienne, voir la BEM des hélices de captage.

La théorie de Froude donne la vitesse induite axiale. Couplée à la théorie de l'élément de pale, elle décompose cette vitesse induite en composantes axiale et tangentielle, nécessaires pour prédire les angles d'incidence et la géométrie des pales.

Pour aller plus loin, nous pouvons voir le calcul élément de pale des hélices propulsives, le cas des hélices de captage avec la limite de Betz, ou les références bibliographiques.